La translation
Glisser sans tournerAttrape la pointe ou le départ de la flèche bleue et regarde ce que fait le bateau. Qu’est-ce qui change quand tu l’allonges, quand tu la tournes, quand tu la déplaces sans la modifier ? Cette flèche est un vecteur ; le déplacement qu’elle commande, une translation.
Règle la flèche pour que la proue du bateau (le point P) arrive pile sur la bouée rouge.
Même vecteur, n’importe où : la flèche peut partir de n’importe quel point, ce qui compte c’est le déplacement qu’elle représente.
Tous les points bougent pareil : chaque point M du bateau a une image M′ telle que MM′ = u.
Parallélogramme : si M′ et N′ sont les images de M et N, alors MM′N′N est un parallélogramme.
Coordonnées et norme
Combien à droite, combien en hautDans un repère, le vecteur AB a des coordonnées : de combien on avance, puis de combien on monte. Déplace A et B et compare leurs coordonnées à celles du vecteur : comment les obtient-on ? Et sa longueur, sa norme, comment la calculer à partir de ses coordonnées ?
La relation de Chasles
Deux déplacements, un seul trajetFais deux pas de suite : d’abord u, puis v, mis bout à bout. Compare le déplacement total au trajet direct du départ à l’arrivée : que remarques-tu ? Et avec les coordonnées, comment calcule-t-on la somme ?
Pars du point S et atteins la cible T en n’utilisant que des pas u, v et leurs opposés.
À chaque cible atteinte, écris le déplacement de S à T avec u et v.
Soustraire, c’est ajouter l’opposé : u − v = u + (−v). L’opposé a la même longueur, le sens contraire.
L’ordre ne compte pas : u + v = v + u. Essaie les deux chemins, tu arrives au même endroit.
Tu viens de le retrouver. En coordonnées : (a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d) et k(a ; b) = (ka ; kb).
La colinéarité
Même directionDeux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction : l’un est un multiple de l’autre. Existe-t-il un test simple pour le savoir ? Cherche des vecteurs v colinéaires à u, et garde un œil sur le nombre appelé déterminant.
Tu viens de trouver le test de colinéarité. Pour u(x ; y) et v(x′ ; y′), le déterminant vaut x × y′ − x′ × y. Il est nul exactement quand les deux vecteurs sont colinéaires. C’est ce qui permet de prouver que des droites sont parallèles, ou que trois points sont alignés.
Trouve trois vecteurs v différents, colinéaires à u, dont au moins un de sens contraire.
À toi de jouer
Six exercices de contrôle, sans le repère. Fractions et √ acceptés : 5/2, √13.
Coordonnées
AB(xB − xA ; yB − yA). Milieu : la moyenne des coordonnées.
Norme
‖u‖ = √(x² + y²), dans un repère orthonormé.
Chasles
AB + BC = AC. ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC.
Colinéarité
det(u ; v) = xy′ − x′y = 0. A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires.